LA ELONGACIÓN EN EL M.A.S.

Una vez establecida la relación entre el movimiento circular uniforme y el M.A.S, vamos a utilizarla para hallar la ecuación de la elongación de un punto que se mueve con un M.A.S.

Observa el gráfico. Un móvil parte de O, recorriendo la circunferencia con una velocidad angular constante w. Al cabo de cierto tiempo barre un determinado ángulo Q, llamado espacio angular. Como es un movimiento circular uniforme, podemos escribir: Espacio angular = Q = w t En ese tiempo el resorte pasó de O a M comprimiéndose la distancia x.

La proyección del vector posición (A) sobre el eje vertical x, determina la elongación del M.A.S. asociado.

Aplicando la trigonometría al triángulo azul podemos escribir: x = A sen(w t), ya que la hipotenusa del triángulo es el radio A de la circunferencia, y al mismo tiempo, es el mayor valor que toma la elongación, o sea, la amplitud.

La ecuación de la elongación de un punto que describe un M.A.S. es: x = A sen(w t)

Ampliación del tema: esta expresión se puede calcular sin recurrir al movimiento circular.

CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DE LA ELONGACIÓN SIN RECURRIR A UN MOVIMIENTO CIRCULAR

Puede llegarse a la expresión de la fórmula de la posición frente al tiempo sin recurrir a un movimiento circular auxiliar.

Si en la expresión de la fuerza representamos la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación :

A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:

x = A sen( wt + q)

 

x = A cos( wt + q)

siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase. Las expresiones son diferentes porque empezamos a contar el tiempo en diferentes momentos de la oscilación. La elongación puede ser cero en el momento en que empezamos a medir el tiempo, pero también puede ser un valor dado (con desfase), o ser igual a la amplitud.